两位数 × 两位数 (通用法)

方法：拆分为“头尾积”与两个“交叉积”，然后对位相加。

步骤：

  1. 头尾积：(十位数×十位数) | (个位数×个位数)，个位积不足两位补0。
  2. 交叉积：(首1×尾2) 和 (尾1×首2)。
  3. 组合相加：将两个交叉积末尾补0，与头尾积相加。

示例(无进位)：计算 $21 \times 34$

1
2
3
4
5

  604  (头尾积: 2×3 | 1×4)
   80  (交叉积: 2×4)
   30  (交叉积: 1×3)
-----
  714

示例(有进位)：计算 $48 \times 67$

1
2
3
4
5

 2456  (头尾积: 4×6 | 8×7)
  28   (交叉积: 4×7)
  48   (交叉积: 8×6)
------
 3216

×11

方法：“首尾不动，中间相加”，结果错位相加。

示例(无进位)：计算 $342 \times 11$

1
2
3
4
5

  3 _ _ 2  (首位、末位)
    7      (3+4)
      6    (4+2)
------
  3 7 6 2

示例(连续进位)：计算 $798 \times 11$

1
2
3
4
5
6

  7      (首位)
   16    (7+9)
    17   (9+8)
      8  (末位)
--------
  8778

×15

方法：原数 + 原数的一半，结果乘以10。

$N \times 15 = (N + \frac{N}{2}) \times 10$

示例(偶数)：计算 $46 \times 15$

$(46 + \frac{46}{2}) \times 10 = (46 + 23) \times 10 = 690$

示例(奇数)：计算 $23 \times 15$

$(23 + \frac{23}{2}) \times 10 = (23 + 11.5) \times 10 = 34.5 \times 10 = 345$

×5, ×25, ×125

方法：转换为 ÷2, ÷4, ÷8 后再 ×10, ×100, ×1000。

示例：计算 $84 \times 25$

$84 \times 25 = 84 \times \frac{100}{4} = \frac{84}{4} \times 100 = 21 \times 100 = 2100$

÷5, ÷25, ÷125

方法：转换为 ×2, ×4, ×8 后再 ÷10, ÷100, ÷1000。

示例：计算 $310 \div 25$

$310 \div 25 = 310 \div \frac{100}{4} = 310 \times \frac{4}{100} = \frac{1240}{100} = 12.4$

头同尾合十

方法：(十位 × (十位+1)) | (个位之积)

条件：十位数相同，个位数之和为 10。

示例：$43 \times 47$

$(4 \times 5)$ | $(3 \times 7) \implies 20 | 21 \implies 2021$

示例：$61 \times 69$ (个位积不足两位补0)

$(6 \times 7)$ | $(1 \times 9) \implies 42 | 09 \implies 4209$

尾同头合十

方法：(十位之积 + 个位) | (个位之积)

条件：个位数相同，十位数之和为 10。

示例：$46 \times 66$

$(4 \times 6) + 6$ | $(6 \times 6) \implies 30 | 36 \implies 3036$

示例：$23 \times 83$ (个位积不足两位补0)

$(2 \times 8) + 3$ | $(3 \times 3) \implies 19 | 09 \implies 1909$

分数比较

方法一：交叉相乘法

示例：比较 $\frac{5}{12}$ 和 $\frac{7}{16}$

$5 \times 16$ vs $7 \times 12 \implies 80 < 84 \implies \frac{5}{12} < \frac{7}{16}$

方法二：与 1 作差法

适用：分数都接近1。差值越小，原数越大。 示例：比较 $\frac{120}{121}$ 和 $\frac{132}{133}$ $1 - \frac{120}{121} = \frac{1}{121}$ $1 - \frac{132}{133} = \frac{1}{133}$ $\frac{1}{121} > \frac{1}{133} \implies \frac{120}{121} < \frac{132}{133}$

方法三：分子分母差值法

适用：分子分母差值相同。值大的分数更大。 示例：比较 $\frac{137}{140}$ 和 $\frac{211}{214}$ (差值均为3) $211 > 137 \implies \frac{211}{214} > \frac{137}{140}$

方法四：倒数法

适用：分数都大于1。倒数越大，原数越小。 示例：比较 $\frac{13}{11}$ 和 $\frac{15}{13}$ 倒数比较: $\frac{11}{13}$ vs $\frac{13}{15}$ $11 \times 15$ vs $13 \times 13 \implies 165 < 169 \implies \frac{11}{13} < \frac{13}{15}$ 结论相反 $\implies \frac{13}{11} > \frac{15}{13}$

方法五：差分法 (更相减损术)

规则：$\frac{a}{b}, \frac{c}{d} \implies$ 构造差分数 $\frac{a-c}{b-d}$，其值在两者之间。 示例：比较 $\frac{203}{354}$ 和 $\frac{162}{283}$

  1. 差分数：$\frac{203-162}{354-283} = \frac{41}{71}$
  2. 比较：$\frac{162}{283}$ vs $\frac{41}{71}$
  3. $162 \times 71$ vs $283 \times 41 \implies 11502 < 11603 \implies \frac{162}{283} < \frac{41}{71}$
  4. $\frac{162}{283} < \frac{41}{71} \implies \frac{162}{283} < \frac{203}{354}$